吴国平:难有十全十美,数学中却有完美的存在
我们一起来先看一些数,例如:第一个数6,它有约数1、2、3、6,除去它本身6外,其余3个数相加,1+2+3=6;
第二个数28,它有约数1、2、4、7、14、28,除去它本身28外,其余5个数相加,1+2+4+7+14=28;
第三个数496,有约数1、2、4、8、16、31、62、124、248、496,除去其本身496外,其余9个数相加,1+2+4+8+16+31+62+124+248=496;
后面的完全数还有8128、33550336等等。
我们惊奇发现这些数恰好等于它所有的真约数(即除了自身以外的约数,真约数,列出某数的约数,去掉该数本身,剩下的就是它的真约数))之和,这样的自然数叫做完全数,又称完美数或完备数。
因此,我们发现完全数(又称完美数或完备数),是一些特殊的自然数。如前面提到的6、28、496、8128、33550336等等。
在中国历史文化里无不体现这种“完美数”的存在,如有:六谷、六畜、六常(仁、义、礼、智、信、孝),战国时期的六国,秦始皇以六为国数、天上四方有二十八宿等等。正因为6和28是一个完全数,我们可以在中国五千年文明历史长河中,找到它们的影子。因此一些学者认为中国发现完全数比西方还早。
毕达哥拉斯曾说:“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽,因为它的部分是完整的,并且其和等于自身。”上帝创造世界花了六天,二十八天则是月亮绕地球一周的日数,因此一些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字。圣奥古斯丁认为6这个数本身就是完全的,并不因为上帝造物用了六天;事实上,因为这个数是一个完全数,所以上帝在六天之内把一切事物都造好了。
既然有了完全数,那么其他自然数我们应该来怎么看待呢?如4,它的真约数有1、2,其和是3,比4本身小,像这样的自然数叫做亏数。同样对于“12”这个数,它的真约数有1、2、3、4、6,其和是16,比12本身大,像这样的自然数叫做盈数。因此,完全数就是既不盈余,也不亏欠的自然数。
公元1世纪,毕达哥拉斯学派成员尼克马修斯在其《数论》一书中有这样一段话:也许是这样,正如美的、卓绝的东西是罕有的,是容易计数的,而丑的、坏的东西却滋蔓不已;是以盈数和亏数非常之多,杂乱无章,它们的发现也毫无系统。但是完全数则易于计数,而且又顺理成章:因为在个位数里只有一个6;十位数里也只有一个28;第三个在百位数的深处,是496;第四个却在千位数的尾巴颈部上,是8128。它们具有一致的特性:尾数都是6或8,而且永远是偶数。
寻找完全数并不是很容易的事,即使今天很多人借助计算机继续探索完全数,一共只找到了48个完全数,并且都是偶数。这个过程一直没有发现奇完全数的存在,因此是否存在奇完全数成为数论中的一大难题。会不会有奇完全数存在呢?至今无人能回答这些问题。尽管没有发现奇完全数,但是当代数学家奥斯丁欧尔证明,若有奇完全数,则其形式必然是12^p+1或36^p+9的形式,其中p是素数,因此在10^300以下的自然数中奇完全数是不存在的。
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