吴国平:神秘的三角数
在建筑工地上堆积了许多圆木条,从侧面看去它们堆积成一个三角形的样子。最顶层只有一根,第二层只有二根,第三层只有三根,……。假如可以无限堆积下去,这堆木料究意有多少条圆木?接着我们开始计算:1、2、3、……1+2+3+…+n算起,可是这样计算并不太快,而且容易错误。为了能较准确和迅速得到堆积木条的总数,我们介绍一个古代中国和希腊劳动人民所知道的一个方法:
我先假设n=100,设1+2+3+…+100=S;
100+99+…+3+2+1=S;
两式相加可得:100(100+1)=2S;
所以S=5050.
同样道理我们进一步可设1+2+3+…+n=S;
则n+(n-1)+…+3+2+1=S;
两式相加可得:n(n+1)=2S,
S=n(n+1)/2.
2400年前的希腊数学家毕达哥拉斯称这样的数1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,等等为三角数(Triangular number)。
1 = 1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 3 + 4 = 10
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... ...
保龄球球瓶很多人都见过,它的排列方式就是一个三角数,如下图:
同理像这样的数称为三角形数把1.4.9.16.…这样的数称为正方形数。
宋朝数学家杨辉,他在计算由草束堆成尖垛时候,想到顶层是一束,从上到下逐层增加一束,如果知道底层的束数,就可以算出全部草束的总数。他提出的一个问题是:“今有圭垛草一堆,顶上一束,底阔八束。问共几束?答:36束。”他的计算方法和以上的说明是一样的。
延伸:读者如有兴趣,可以考虑底下几个问题:
1.证明三角数1+2+…+n的最后一位数不可能出现2,4,7,9。例如S1=1,S2=3,S3= 6,S4=10,S5= 15,S6=21,S7=28。这是波兰中学数学比赛出过的一个问题。 2.证明2,3,7,8不会在12+22+32+…+n2的最后一位数出现。
3.是否以上的情形会出现在级数和13+23+…+n3的情况。
4.是否能找到一个公式来表示和1-2+3-4+…+ (-1)n。
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