一道一元一次方程应用题的变式，学数学就得这么学
同学们在做题时，很少能做到举一反三，看到一道题就是这一道，稍微变换一下条件，换个数字就不知道该如何处理了？！其实，同学们可以根据老师的讲解，对例题，习题，自己试着变形，也就是对原题条件、问题等进行变换，就能起到举一反三和事半功倍的效果！
下面是我就一元一次方程的应用题—工程类的一道题目进行的变式练习探究：
例题：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。那么两人合作多少小时完成？
分析：本题是一个典型的工程类应用题
（一）、工程问题中三个基本量是：
1.工作量、工作时间、工作效率；
2.这三个基本量的关系是：
工作量=工作时间工作效率
工作效率=工作量工作时间
工作时间=工作量工作效率
3.工作总量通常看作单位“1”
（二）、相等关系：
甲单独做20小时完成的工作量+乙单独做12小时完成的工作量=完成的工作总量
解：设两人合作x小时完成此工作，依题意可得：
x/20+x/12=1
解之得：x=7.5
答：两人合作7.5小时完成。
变式一：
一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成？
分析1：此工作分两步完成的，故有相等关系：
甲先单独完成的工作量+两人合作完成的工作量=完成的工作总量
解法一：设两人合作还需x小时完成此工作，依题意可得：
4/20+（1/20+1/12）x=1
解之得：x=6
答：两人合作还要6小时完成。
分析2：此工作由甲、乙两人完成的，故有相等关系：
甲共完成的工作量+乙完成的工作量=完成的工作总量
解法二：设两人合作还需x小时完成此工作，依题意可得：
（4+x）/20+x/12=1
解之得：x=6
答：两人合作还要6小时完成。
变式二：
一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成此工作的2/3？
分析；本题目在前者的基础上仅改变了完成的工作总量，故由此易建立方程：
4/20+（1/20+1/12）x=2/3
解法：略
变式三：
一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么共要多少小时完成此工作的2/3？
分析：本题目在前者的基础上改变了未知量，弄清问题中是总的时间，要特别注意。相等关系：
甲共完成的工作量+乙完成的工作量=完成的工作总量
解：设共需x小时完成此工作，依题意可得：
x/20+（x－4）/12=2/3
解之得：x=7.5
答：共要7.5小时完成此工作的2/3。
变式四：
一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做7.5小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成？
分析：本题目在例题的基础上改变了已知量，容易得到甲的工作效率、两人合作的工作效率。相等关系：
甲先单独完成的工作量+两人合作完成的工作量=完成的工作总量
解：设两人合作还需x小时完成此工作，依题意可得：
4/20+x/7.5=1
解之得：x=6
答：两人合作还要6小时完成。
变式五：
一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做7.5小时完成。甲先单独做4小时，余下的乙单独做，那么乙还要多少小时完成？
分析：本题目在例题的基础上改变了已知量，容易得到甲的工作效率、两人合作的工作效率。但还要求出乙的工作效率：1/7.5－1/20
相等关系：
甲先单独完成的工作量+ 乙单独完成的工作量=完成的工作总量
解：设乙还需x小时完成此工作，依题意可得：
4/20+（1/7.5－1/20）x=1
解之得：x=9.6
答：乙还要9小时36分完成。
变式六：
一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做3小时完成此工作的2/5。现在甲先单独做4小时，然后乙加入合做2小时后，甲因故离开，余下的部分由乙单独完成，那么共用多少小时完成此项工作？
分析：此题涉及到前面几个题目中的变化，且完成方式更为复杂化。但明确等量关系仍然不变：
（1）此工作分三步完成的，故有：甲先单独完成的工作量+两人合作完成的工作量+乙单独完成的工作量=完成的工作总量
（2）此工作由甲乙二人完成的，故有：甲共完成的工作量+乙共完成的工作量=完成的工作总量
类比前面变式练习便可解出此题：
解法1：设共需x小时完成此工作，依题意可得：
4/20+2（2/53）+（x-4-2）（2/53-1/20）=1
解之得：x=12.4
答：共要12小时24分钟完成此工作。
解法2：设共需x小时完成此工作，依题意可得：
（4+2）/20+（x－4）（2/53-1/20）=1
解之得：x=12.4
答：共要12小时24分钟完成此工作。
反思：通过设计变式练习，可以脱离就题论题的模式，让学生从题海中逃匿，很轻松地就能理解此类题目，且能达到举一反三之功效。同时通过问题的循序渐进、由简到繁，让学生明确题目的演变过程，揭开了综合性较强的题目的神秘面纱，从而形成“析问题，抓本质”的习惯，增强战胜困难的信心和智慧。
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