初中专项奥数几何证明习题

学习奥数的作用在于对同学们长远智力水平的提高，而不是单纯为了成绩。鉴于此，小编为大家准备了这篇初中专项奥数几何证明习题，以供大家参考。

1.在△ABC中，M为BC边的中点，∠B=2∠C，∠C的平分线交AM于D。

证明：∠MDC≤45°。

2.设NS是圆O的直径，弦AB⊥NS于M，P为弧上异与N的任一点，PS交AB于R，PM的延长线交圆O于Q，求证：RS>MQ。

3.设P三角形BC内部一点，且∠PBA=10°， ∠BAP=20°，∠PCB=30°， ∠CBP=40°。

求证三角形BC是等腰三角形。

答案：

1.设∠B的平分线交AC于E，易证EM⊥BC作EF⊥AB于F，则有EF=EM， ∴AE≥EF=EM，从而∠EMA≥∠EAM,即90°-∠AMB≥∠EAM。又 2∠MDC=2(∠MAC+∠ACD)=2∠MAC+∠ACM=∠MAC+∠AMB， ∴90°≥∠AMD+∠MAC=2∠MDC，∴∠MDC≤45°。

2.连结NQ交AB于C，连结SC、SQ。易知C、Q、S、M四点共圆，且CS是该圆的直径，于是CS>MQ。再证Rt△SMC≌Rt△SMR，从而CS=RS，故有RS>MQ.

证明设∠BCP=x,则∠CBP=80°-x.

由塞瓦定理的等价式得：

sin20°*sin40°*sin(80°-x)=sin10°*sin30°*sinx<====>

4cos10°*sin40°*(sin80°*cosx-sinx*cos80°=sinx<====>

tanx=(4cos10°*sin40°*sin80°)/(4cos10°*sin40°*cos80°+1)注意下面三角恒等变换：

4cos10°*sin40°*cos80°+1

=2sin40°cos70°+1=2cos50°cos70°+1

=1+cos120°+cos20°=1/2+cos20°，

4cos10°*sin40°*sin80°=2cos10°*(cos40°-cos120°)=cos10°+2cos10°*cos40°=cos10°+cos30°+cos50°=cos30°+2cos20°*cos30°=cos30°(1+2cos20°)=√3*(1/2+cos20°)

故得：tanx=√3 即 x=60°。

所以∠ACB=80°-60°+30°=50=∠BAC.